滑雪常识

滑雪常识

嘴派理论,双板滑雪中转弯的动态力学分析及侧倾角理论

作者:admin  来源:本站  发表时间:2015/7/21 9:52:35  点击:939

首先必须感谢远在大洋彼岸的Firehawk帮我审稿、改稿,并提了很多指导性意见!

雪滑不好,但嘴上说不能不好! 自建嘴派门来探讨滑雪的物理力学分析。以下内容皆原创,不一定全部正确,欢迎讨论,欢迎指正,欢迎批评,尽管拍砖!


我比较讨厌把原理搞的都像奥数似的(中国式教育体系),讲半天云里雾里,恨不得越听越听不明白。何必把知识搞那么复杂,理论服务于实践,没理论照样滑一腿好雪!但是,如果滑的不是很好的话,那就需要嘴上说的好了,因为一样可以唬人。。。。

请先看这张图片:

                              

[attach]2290125[/attach]

图片来源:http://www.skiforum.it/forum/scuola-sci/62829-pmts-5-anni-e-possibile-4.html

(这是一张非常好的图,要素很多,但我讲的理论和这些要素关系不大,所以,请自行分析图中的所有内容。链接中的内容同样丰富)

我想问问,图中4和12是不是一样?记得之前有人发过一篇受力分析,归纳如下图:他指出A是入弯C是出弯,所以A和C是不同的;但我以为A、C两点唯一的不同是一个身体面对左,另一个面对右,剩下完全一样。A点如果是入弯那么C点也是入弯。。。。我不觉得可以从C点到下一个A点能够瞬间完成,A和C本来就是一回事嘛!有了这个观点接下来的分析就容易多了,我们只需要完成A->C的分析,就能完成滑雪整个转弯的分析,这没问题吧,虽然绝大多数人两边是不对称的,但力学分析不受影响,纯理想化!


[attach]2290126[/attach]

下面都会引用A、B、C三点代表一个弯的顶点,中点和底点。那么A点发生什么呢?实际情况中,A点雪板基本不会水平(相对水平面),几乎肯定会有朝山下的角度【很少有把半圆画成图中所示,一般也就是个S而已,实际情况肯定如此,除非你故意把雪板转向山上!真滑如此完美的半圆是不可能的,一会儿我会解释,这也是我动态力学分析的结果】,此时可能有三种情况:

1.        重心落在雪板的外侧山上方向;

2.        重心落在雪板上或两雪板中间;

3.        重心落在雪板的外侧山下方向;

几乎所有图例都会按照2来说明,因为高手可以做到换刃时重心恰好刚刚越过雪板(这里认为只要在雪板中间就算越过雪板,因为这个时间很短),这也是我们追求的目标之一!但即使做到1也没问题,因为这是即将成为高手的表现,很快就能越过;至于3我觉得运动员具备这钟素质,运动员换刃是根据需要的,在整个弯的任何过程都可以完成(比如空中换刃),这个咱就不说了,水平的差距实在太大。如果是1那么也将会在A->B的某个位置,重心跨过板面,所以在弯的绝大多数时间,重心应该都在雪板内侧。小提示:不断练习,让换刃点越来越接近A点,直到重合。


吐槽一下“重心”,我其实不愿意用“重心”这个词,但大家一直这么沿用我就得解释下我的观点。首先,重心是物体的质量中心,作为人来讲,重心大概就在肚脐眼后面的某个位置。当然这是指站直的情况,如果你哈了腰、拧了腿,那重心甚至可能在你的身体之外。大众滑雪“重心”大部分理解成身体作用在雪面上的作用点,说什么重心落在板内也是理解为压力等效作用点处于雪板的内侧。其实,这个作用力是两种力的综合体现,不仅有重力,还有雪板给你的反作用力,这两个力的合力构成一个综合力,复杂而优美。我这里自建一个词“重心等效作用线”,用来理解重心与这个作用点的连线。双脚直立站立的时候重心等效作用线就在身体正中间垂直向下,单外板滑行中等价为重心到外侧雪板与地面接触点的连线,这条线在很多讲反弓的图例中都能看到,例如:


[attach]2290127[/attach]

图片来源:http://www.yourskicoach.com/glossary/SkiGlossary/Angulation.html

图中的动作做得比较夸张,实际没必要做这么大的动作,做到脚、膝盖、肩部大致在一条线上就行。图中绿色的线就是我说的“重心等效作用线”,大家说道所谓的“重心”其实就是这条线和地面的交点。


我们很多时候都认为重心就是重力作用在雪面上的等效点,认为滑行只是由重力引起。但应该说“不全是”,因为,还有雪板在雪面上的反作用力,这两个力就是我今天动态力学分析的两个主要力。


高速下的空气阻力和大风的风力,这个能忽略吗? 经验公式,一个自行车手在50公里时速下的风阻大约是4~5公斤,滑雪服没自行车紧身衣那么“性感”,推测阻力在10~15公斤吧(自行车风阻资料:http://bbs.8264.com/thread-1232166-1-1.html)。风阻公式:


[attach]2290128[/attach]

其中

Cd是风阻系数

是空气密度

S是迎风面的横截面积

v是速度。


我假设雪服面积增大3倍推测这个10~15公斤的力量,不小了已经可以影响滑行,我会在下面的动态计算中有所体现,但由于计算过于复杂,仅仅还是参考力吧。


好,滑雪做物理力学分析的三个力都出现了:重力、雪板反作用力、阻力(空气阻力和地面阻力),上面说一大堆枯燥理论,但请怀着一颗宽容的心,因为接下来的公式和计算比上面还要枯燥得多,不感兴趣的就直接“顶”或者“赞”吧!


牛顿力学(经典力学的一种表现形式)分析力的大小、方向和作用点(还好没完全还给老师,参考http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%80%E5%8D%95%E6%9C%BA%E6%A2%B0),我们现在要分析的力一共有三个,他们的三要素分别是什么呢?


1.        重力:大小永远等于你的体重,方向永远竖直向下,只要你没飞出地球;作用点就得好好分析喽,随着身体做各种动作,倾倒、反弓、前后调整等等,作用点都会做少量的移动,也是身体质心的移动。

2.        雪板反作用力:大小永远等于作用在雪板上面的压力,这个压力可能是重力的分力,也可能是你大腿蹬雪板的压力。有人奇怪说:“不管我是不是蹬雪板,这个压力不应该永远等于重力在这个方向上的分力吗?”这点上我考虑了很久,终于明白了。首先,这么理解本身就不对,不是重力在反作用力方向的分力,而是反作用力在竖直方向上的分力恰好和重力相等!这个压力逻辑上可以有两个分量,一个构成在雪道上转弯需要的向心力,另一个是身体上下动而压力改变,通过对雪板加压、放松、改变重心高低;为什么说是逻辑上,因为实际上还是只有一个力的,我逻辑上分两个是便于理解。所以说要有引申啊,就是为了减少对雪板的压力;方向,如果雪板等效成一个点的话,这个力的方向完全指向我刚从说的那个“重心等效作用线”;作用点永远在雪板和地面的接触点上,呵呵,这个没得说。

3.        空气阻力:大小和速度成平方关系(上面有公式),方向永远和运动方向相反,作用点可以等效为作用在质心上。


[attach]2290129[/attach]

图片来源:http://www.tudou.com/programs/view/PPGNZhOrQnM/?FR=LIAN

其实,阻力是非常复杂的力学分析,有专门的物理分支,我一个学数学的是完全搞不懂!这里我大胆做些假设(搞数学特别喜欢搞假设,然后推出一堆自己完全看不懂的理论):


1.        空气阻力仅跟速度相关,假设30公里时速风阻5公斤,40公里10公斤,50公里15公斤,60公里25公斤,我先这么假设着,不对再说。。。。

2.        空气阻力方向永远指向运动后方,转弯也好,各种姿势也好,阻力永远向后。


接下来还得做几个假设,没办法,不假设实在做不出来:

1.        假设人体可以等效成一个圆柱体,圆柱体的轴就是我上面说的“重心等效作用线”;

2.        假设两个雪板沿作用力方向等效成一个点!一般都是外板滑行,这个等效成立;即使双板5:5分力,这个假设也是成立的,只是上面那个圆柱体要粗一点点;

3.        滑雪板沿雪板方向可以等效成一个点。虽然雪板很长很宽,但是综合到力学分析上就可以等效成一个点了。

4.        人对雪板的压力是唯一的。上面说这个力,逻辑上分成两个,但分析的时候还是当一个来看,这里不考虑加压、减压、如何换刃什么的,只考虑压力综合表现;


补充一点,我所有分析不区分Skidding、Carving(搓雪和卡宾),大家总以为Carving容易滑出半圆,喜欢用Carving来举滑半圆例子分析,但根据我下面计算,实际上只有Skidding才有可能滑出真正的半圆,Carving是滑不出完美半圆的,挺意外吧。。。。。


根据这些假设,我可以画出一个在雪道上面的作用力简图:


[attach]2290130[/attach]

图中是个斜面,A点橙色线段假设是个人,垂直站立于雪面(坡面)。实际上,人基本不会完全垂直于雪面,总会有些角度,但这里忽略,仅作分析假设。人与重力线夹角等于坡面夹角θ,此时人仅仅收到重力影响(暂时忽略阻力,因为阻力方向不影响向心力)。实际上,在A点除了水平方向有速度以外(定义垂直于滚落线方向为水平方向),在滚落线方向也有速度的,这个速度用来快速的交换重心,但为了计算方便,暂时忽略这个方向的速度,设其为零,所以,A点的力学分析有:




[attach]2290131[/attach]

其中:

F向      是在A点指向圆心的向心力;

F垂   是垂直作用在雪面的压力大小,这个力是重力在雪面上的分力;

F山下   是沿滚落线方向合力。由于重力全部充当向心力,此时向山下的合力恰好为零;


注意,此时的分析以雪面作为参照系,以下分析都是雪面为参照系【很关键】!雪面是惯性参照系,我们仍然可以根据分力、合力的方法来分析,这里分析的三个分力就是:


1.        向心力,永远指向圆心,改变方向但不改变速度;

2.        垂直于雪面的压力,不会影响方向也不影响速度;

3.        沿滚落线方向合力,这个力是加速、减速,同时改变方向和速度的力;


这三个分力的方向并不垂直,我只给出力学分析法,具体计算我也推不出来,数学功底还是不够哇。很明显,在A点仅有重力在各方向的分力,那么在B点就不同了,B点重力、雪板反作用力共同影响滑行(阻力暂时还是忽略,因为阻力永远与向心力垂直,不影响方向)。


[attach]2290132[/attach]

B点分析如下,B点是和圆心O在同一水平线的点,在B点,人侧倾向雪面,假设人体与雪面的夹角是α。此时,雪板与滚落线方向一致,身体正朝滚落线,向心力完全水平,重力此时不会影响滑行方向(因为,重力在雪面滚落线方向的分力垂直于向心力,此时仅能起到沿滚落线的加速作用,不影响向心力),那么此时的三个分力分别是:




[attach]2290133[/attach]

解释一下,不对请指正。在B点,人体侧倾,雪面夹角α,由于雪面有角度,所以重力垂直雪面的作用分力就是Gcosθ,也即是人体作用在雪面上的正压力;

向心力是雪板反作用力在水平方向的分力,由于雪板反作用力在垂直上面的分力等于重力垂直雪面的分力,所以雪板反作用力大小等于Gcosθ/sinα(α是身体与雪面夹角),向心力等于Gcosθ/sinα*cosα=Gcosθ/tgα;

朝山下的力是重力沿雪面滚落线方向的分力,此时只起加速作用。


由于B点的特殊性,人在B点身体重力和向心力垂直,朝山下的力给人最快的加速度!所以尽快突破在B点的恐惧感是滑雪的必经之路。B点加速度最快,给人失重感觉最明显,但速度最快的点是在B点到C点中间B’,这个将在下面给出。



[attach]2290134[/attach]

先说C点,分析得知和A点正好相反,我之前说过A点和C点是完全一样的,但对于半个弯来讲A和C正好对称:




[attach]2290135[/attach]

由于C点向心力和滚落线方向正好相反,所以这里符号相反,向山下合力仍为零。


A、B、C三个点都分析完了,下面我们进一步多分析三个点,一个在A、B之间,另两个在B、C之间,A、B之间的点A’是随意选的,B、C之间的点B’、B’’选择比较特殊,B’点是速度最快、也是侧倾角度最大、拍摄位置最好点;B’’点是减压换刃的起点。


[attach]2290136[/attach]

先分析A’点,假设人体与雪面夹角α,圆弧和滚落线夹角是β,那么三个力的分析就有下面的公式:




[attach]2290137[/attach]

此时的向心力由两个分力组成,一个分力是雪板反作用力的分力,另一个分力是重力垂直于滚落线的分力(指向圆心),比较绕但实际情况就是这样;雪板反作用力的向心力仍然满足上面的分析,等于Gcosθ/tgα;重力在这个方向的分力是上式第二部分。

和A、B点一样,垂直于雪面的力永远等于重力在坡面分量,这个在任何点都是不变的;

此时沿滚落线方向的合力由三个力组成,都是分力的分力。主要的两个是雪板反作用力指向圆心分力然后在滚落线方向分力(向心力和滚落线夹角β)和重力沿滚落线方向的分力,两者之差就是滚落线方向的合力;再减去阻力在滚落线方向分力。


由于A’点是任意选的,所以A’点从A到B三个力的变换趋势满足上式,α越来越小(侧倾幅度越来越大),β越来越大(最后90度就是B点了),这个公式同时应用在A、B、C点都是一样的。实际上,在整个圆的任一点,公式都成立,请自行证明!


[attach]2290138[/attach]

B’,B’’两点力学分析和A’点是完全一样,但因为β大于90度,所以cosβ小于零。




[attach]2290139[/attach]

B’、B’’两点很特殊,从B ->C点经历了先加速、后减速两个主要阶段。沿滚落线方向合力先逐渐减小(正)到零【B’】;然后逐渐增大(负)到最大【B’’】;再逐渐减小(负)到零【C】这么三个阶段。也就是先加速到B’,然后减速到B’’,然后再减速到C。B’是速度最大点,B’’点是释放板压的起始点。


从分析看出,下半圆要比上半圆还要复杂得多,真想滑好雪,下半弯必须掌握!


我理解大概学习顺序就是。


1.        先掌握基础平行式,基本保持雪板平行;

2.        尽量早内倾,从A点开始立刃,尽早入弯;

3.        仔细分配力量,平衡B点到C点的三个阶段,这样就能refined steered turn了!


如果没有人主动参与,放任身体自由落体,那么从B-> C点速度肯定越来越大,最后在C点不受控制的飞出去!但由于人的主动控制侧倾,从上面公式也能看出各个力的分析中都出现了侧倾角α,滑雪最关键的就是完全控制这个角,大了——倒地;小了——侧翻,到这里就提到了我题目中之“侧倾角理论”。滑雪中侧倾角是唯一决定滑行状态、速度、力量的要素,下面会给出这个角度的计算,当然只能更加的无聊。


B’点如果速度达到最大,那么其在滚落线方向的合力就应该是正好换方向的一刹那,也就是合力正好为零的点(合力为零点也是切线速度最大点,请自行证明),上式中F山下的大小等于零,也即是:



所以有  

[attach]2290140[/attach]

公式解释起来忒麻烦,为让大家先有感性认识,暂时忽略阻力部分,简化以后侧倾角α只跟β有关了,用Excel做了个表格,看个大概:



  

θ

  


β



tan(α)



α(角度)


  

θ

  


β



tan(α)



α(角度)



15



85



0.33



18.15



20



85



0.24



13.57



15



80



0.67



33.75



20



80



0.49



26.19



15



75



1.04



45.99



20



75



0.76



37.31



15



65



1.92



62.49



20



65



1.41



54.72



15



60



2.49



68.10



20



60



1.83



61.37



15



55



3.19



72.60



20



55



2.35



66.94



15



50



4.09



76.25



20



50



3.01



71.62



15



45



5.28



79.27



20



45



3.89



75.57



15



40



6.92



81.78



20



40



5.09



78.89



15



35



9.29



83.86



20



35



6.84



81.68



15



30



12.93



85.58



20



30



9.52



84.00




表格中:

θ是坡面角度,这里取了两个常用坡度:15度和20度;

β是速度最大点与C点的夹角(为看起来方便我用向心力、滚落线夹角锐角代替,角度越大表示更接近B点,角度越小表示更接近C点)

α是人体与雪面内倾角;


这个表格没考虑空气阻力,所以肯定不准,但趋势可以看出:内倾角越大越可以更快的越过平衡位置,越过平衡位置后就开始减速。换句话,压得越狠减速的时间也越长,这跟我们平时感觉是相通的。可能有人问了,运动员侧倾几乎贴在地上那岂不是减速更大?呵呵,运动员滑的可不是完美的半圆噢,人家一旦方向转过来了就不在滑圆而是斜滑降。他们计算的是转弯的减速时间和滑行距离消耗的时间比,计算很多时间和的最小值,跟我上面的计算还是差很多的。


为了A点和C点速度一样,整个转弯过程可简化成一个加速过程和一个减速过程,加速过程从A到B’;减速从B’到C点。B’点越接近B点,减速时间越长,越容易控制速度;如果B’点都快到C了,那你只能越滑越快,最后无法控制飞出去。B’是非常重要的一点,尽量早些越过,能有充足的时间为下一个弯做准备。


B’’点的分析与B’上是一样的,这里单独提出因为B’’点更重要!从这一点开始释放板压,基本上,国外各种xxISA教学体系中所有关键要素都是从这个点开始,比如开始换刃、减少板压、引申、phase 1等等,如何控制B’’的位置也就显示出一个人的能力了。由于我暂时还无法领悟B’’点的时机和位置,关于B’’点的分析没经验,暂作为下篇文章的重点吧。。。。


说了这么多都是力学分析,貌似与实际距离较远,接下来就是实打实的物理学计算,在各点速度分析、受力分析和最重要的内倾角度分析。这里主要用到以下两个物理定律:

1.        向心力公式:  [attach]2290141[/attach]其中m是质量;v切线速度;r圆半径;

2.        能量守恒定律:滑雪运动中的能量有四个,动能、势能、人体形变做功、阻力损耗能量。


下面分析三个问题:

第一个问题,在A、B、C点时的速度是多少?

第二个问题,在A、B、C点时的力量是多少?

第三个问题,在A、B、C点时的侧倾角是多少?


前面说了,A和C点是完全一样的,那么A点的速度是多少呢?根据上面公式 Gsinθ=mv2/r,消去质量后得v=sqrt(g*sinθ*r),此时腿部力量完全等于垂直于雪面压力,身体侧倾角α等于90度。重力与雪面垂线夹角θ


  

θ

  


r1



v1



r2



v2



r3



v3



10



15



18.2



20



21.0



25



23.5



15



15



22.2



20



25.6



25



28.7



18



15



24.3



20



28.0



25



31.3



21



15



26.1



20



30.2



25



33.7



24



15



27.8



20



32.1



25



35.9



27



15



29.4



20



34.0



25



38.0



30



15



30.9



20



35.6



25



39.8




表格中列出几个常见坡度和转弯半径的A点水平速度,绝大多数在20~30公里/小时,这速度应该是很容易控制的吧。


等等,这是我们假设的理想情况,实际情况呢?上面说A点有3种可能,如果实际速度小于上式,重心没有越过雪板(加油,一定要尽快越过),此时如果强行换刃将导致圆不够完整。实际上,在A点都会有向下的速度,目的就是迅速完成换刃。


B点分析要复杂些,B点速度计算要用到能量守恒,此时还是要做些假设,假设从A点到B点人的做功消耗是零。这么假设其实有道理,从A到B人能做的事情比较少,如果侧倾过大就倒向雪面,如果侧倾不足就翻过去了,在整个A到B的过程中身体基本是被动的,不像B到C可以有那么多阶段。根据能量守恒,此时势能转换为动能和阻力消耗。


[attach]2290142[/attach]

假设风阻和雪面的阻力大约等于重力的10%(按照我体重0.1吨、时速30公里、阻力总共大约10公斤估算),按我自个评估的估算表格如下。



  

θ

  


r



v0



v2



侧倾角



压力



r



v0



v2



侧倾角



压力



r



v0



v2



10



15



18.2



19.5



78.5



100.5



20



21.0



22.6



78.5



100.5



25



23.5



25.2



15



15



22.2



29.5



64.7



106.8



20



25.6



34.0



64.7



106.8



25



28.7



38.0



18



15



24.3



34.0



57.5



112.8



20



28.0



39.2



57.5



112.8



25



31.3



43.9



21



15



26.1



37.9



51.1



120.0



20



30.2



43.8



51.1



120.0



25



33.7



48.9



24



15



27.8



41.4



45.4



128.2



20



32.1



47.8



45.4



128.2



25



35.9



53.4



27



15



29.4



44.5



40.5



137.1



20



34.0



51.4



40.5



137.1



25



38.0



57.5



30



15



30.9



47.4



36.3



146.3



20



35.6



54.7



36.3



146.3



25



39.8



61.2




速度在B点增加的都很多,在坡度24度回转半径20米的情况下就快突破50公里/小时,继续往B’走的话肯定50公里/小时以上;但是内倾角和雪板压力却是只跟坡度有关的,和速度、半径都没关系,换句话滑行速度主要取决于坡度,和转弯的半径无关。


B’点可以类似的分析,但由于B’点的位置和侧倾角有关,那么此处的动能分析比较麻烦;B’’点分析更复杂,由于可以主动控制B’’点的位置,但具体如何计算,由于人的主动参与过多,应该只有到达一定程度后才能理解,也作为下篇文章的重点吧。总之,B’和B’’点的掌握是滑雪的最高级别能力,先控制好B’点,然后慢慢体会B’’点的动作。。。。。


由于实际上不可能滑出半圆,如感兴趣可以按照和我类似的分析逻辑对B’点和B’’点分析,权当是课后练习。



———————————— 华丽的分割线————————————


理论分析就到这里, 基本上我能得出的就是这些了,不知大家能从我的分析中得到什么心得,下面总结一下:


首先,说说Carving无法滑出完美半圆这个事儿:

现代Carving滑法,一旦用力压实雪板,那么雪板的轨迹就是雪板边缘弧线的痕迹。如果力量不变、倾角不变,痕迹将是完美的圆弧!但实际情况,从A点到B点侧倾角逐渐减小,根据卡宾板的特性,雪板立刃角度越大,那么它走过的弧就更短、更凸,半径更小,随着立刃角度的不断增大(到B’点前立刃角度是一直增大的),弧半径肯定越来越小,过了B’点之后立刃角度不断减小,那么弧半径也会越来越大,所以实际上滑的弧是下图中黄色线的位置。也就是卡宾板是不可能滑出完美半圆的。至于Skidding就不同了,skidding由于可以随意控制雪板角度,那么就可以根据需要控制侧倾角度和速度,那么就有可能滑出半圆。


[attach]2290143[/attach]

通过上面的能量分析,顿悟为啥skidding可以减速!以前一直理解只有滑入Low-C阶段,用雪板刹车方式的skidding才能减速,但实际上在任何阶段只要发生skidding就一定会减速。因为能量守恒,一旦发生skidding就表示能量已经转化到雪面的雪上了,所以在High-C部分提前做出skidding就可以更从容的控制速度,换句话skidding不仅指下半圆,上半圆也同样要求skidding,控制速度诀窍就是均匀的减速,而不是把减速都放在B’到C这段弧上。


还有理解了,都说High-C难,但实际上Low-C比High-C还要难!High-C、Low-C的定义不说了,没找到明确定义,就按照大家听说过的自行理解吧。


最后再重复一遍上面的分析:

从A-> B点是变加速曲线运动,接近半圆,B点是加速度最大点,也是最恐惧的点。但根据上面表格,B点速度并没有快到离谱的程度,3~40公里还是可控的,一定量的练习就能克服。

B-> B’也是变加速曲线运动,但加速度越来越小。同时B’点的位置仅取决于你压弯的角度,压得越厉害越能更早的到达B’点,同时速度也越早开始减速,所以过了B点以后就尽量向弯内压吧。

B’->B’’、B’’-> C是变减速曲线运动,之前的加速必须在这段减到初始值,压力还是蛮大的,实在不行就搓雪吧,能量的损耗可以让你更从容的控制速度。速度减的不够可通过下压板换刃(提升重心也消耗能量,减速同时为了释放板压),速度减过了可以通过收腿的方式换刃。


理论分析对滑雪非常有指导意义,弄懂了我很多以前不是很理解的地方。虽然很多地方都做了假设、不合理忽略、减少变量等等,但总体上还是很有指导意义的。


希望我的分析能给那些热爱研究滑雪力学分析的学友们以帮助!


最后,再次特别鸣谢Firehawk和梁哥帮忙审稿,让我的理解更充实饱满,滑雪就应该是一帮人一起的活动,如果你还没有身边的同伴,就来找我吧。。。。。


《2013年11月11日星期一 发表于绿野滑雪,转载请注明出处》

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